✎ Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique

Méthode
Pour déterminer la raison  `r` et le premier terme  `u_0` d'une suite arithmétique  `u` connaissant deux termes de cette suite, on utilise la relation suivante :
pour tout  `n \ \text{et} \ p`  entiers naturels,    tels que  \(p \leqslant n\) ,  `u_\color{red}{n}=u_\color{green}{p}+(\color{red}{n}-\color{green}{p})\times r` .

Exemple 1
Soit  `(u_n)_(n\in\mathbb{N})` la suite arithmétique telle que  `u_18=60`   et  `u_35=111` .
On appelle  `u_0`  et  `r` respectivement son premier terme et sa raison.
D'une part,  `u_\color{red}{35}=u_\color{green}{18}+(\color{red}{35}-\color{green}{18})\times r\Leftrightarrow 111=60+17r\Leftrightarrow17r=51\Leftrightarrow r=51/17=3` .
D'autre part, comme  `r=3`  et  `u_18=60` , on a :    `u_\color{red}{0}=u_\color{green}{18}+(\color{red}{0}-\color{green}{18})\times r \Leftrightarrow u_0=60-18\times3=6` . On a donc, pour tout  `n`  entier naturel,  `u_n=u_0+nr=6+3n` .

Exemple 2
Soit  `(u_n)_(n\in\mathbb{N})` la suite arithmétique telle que  `u_12=7`   et  `u_99=65` .
On appelle  `u_0`  et  `r`  respectivement son premier terme et sa raison.
D'une part,   `u_\color{red}{99}=u_\color{green}{12}+(\color{red}{99}-\color{green}{12})\times r\Leftrightarrow 65=7+87r\Leftrightarrow87r=58\Leftrightarrow r=58/87=2/3` .
D'autre part, comme  `r=2/3`  et  `u_12=7` , on a :    `u_\color{red}{0}=u_\color{green}{12}+(\color{red}{0}-\color{green}{12})\times r \Leftrightarrow u_0=7-12\times2/3=-1` .
On a donc, pour tout  `n`  entier naturel,  `u_n=u_0+nr=-1+2/3n` .